一本の紐 (等周定理)
パソコンの電源を接続している延長ケーブルを片付けようとした時、ふと思ったことがある。
このケーブル(一本の紐)を使って様々な形状の図形を作った時、「図形の面積は同じになる？」。
深く考えずに直感的に
「紐の長さが同じなのだから面積も同じだろう・・・」
と思いがちだが、果たしてそうなのだろうか？
(例を挙げてチョット考えれば「この直感」は直ぐに「おかしい」と気づく。
例えば、20㎝の紐で、四角形(長方形と正方形)を作ったとする。
(長方形の形状は無数にあるので上図は一例)
四角形の面積は、正方形が最大であることが分かる。
では、他の多角形で検証してみよう。
「どのような形状が一番面積が大きくなるのだろう？」
正方形が最大なのか？ 察しのいい方なら、何となく正解はわかると思いますが・・・。
L：周長(周囲の長さ)が分かっている場合の、正多角形(円を除く)の面積を求める公式は、
A:面積
n:辺の数
s:1辺の長さ(=L/n) (Lは既知の周長)
cot:cotangent cot(x)=1/tan(x)=cos(x)/sin(x)
π:円周率(3.14とする)
(計算式及び計算は、Copilot(AI)にやってもらいました。間違っていれば御免なさい)
円の面積は、S=π×半径×半径=π×(L/2π)×(L/2π)。半径は L/2π。
L=20㎝とすると S=π×(20/2π)×(20/2π)=100/π≒31.83㎠。
角数が増えるごとに面積も増える。円は角数∞の多角形だ。
結論：
周長が同じであれば、面積が最大となる形状は円である([等周定理]と言うらしい)。
チャンチャン
【雑学】
等周定理（isoperimetric theorem）：
周長が一定の図形の中で、面積が最大となるのは円であるという数学の定理。
周長 Lと面積 A の関係を示す不等式は A≦( L×L) / 4 π
等号が成立するのは「円」のみ。
古代ギリシャ時代から研究されていたようです。
等周定理、お恥ずかしい話、今の今まで知らなかった。
